Compendio di Matematica Finanziaria (classica e moderna)

43/4 - Compendio di Matematica Finanziaria (classica e moderna)

Capitolo Primo Leggi e regimi finanziari

Il foglio Excel illustrato utilizza due funzioni finanziarie:

- EFFETTIVO(tasso_nominale;periodi), che consente di calcolare il tasso di interesse annuo effettivo in base al tasso di interesse nominale annuo e al numero dei periodi di capitalizzazione per anno;

- NOMINALE(tasso_effettivo;periodi), che consente di calcolare il tasso di interesse nominale annuo in base al tasso di interesse effettivo e al numero di periodi di capitalizzazione per anno.

Capitolo Secondo Rendite certe

valore attuale e montante di una rendita.xls

Il foglio Excel illustrato utilizza due funzioni finanziarie:

- VA(tasso_int;periodi;pagam;val_futuro;tipo), che consente di calcolare il valore attuale della rendita, noti:

- il tasso d’interesse effettivo annuo;

- il numero di periodi della rendita;

- la rata della rendita (il cui importo dovrà essere preceduto da un segno meno a indicare che si tratta di un pagamento);

- il valore futuro o montante, tale valore dovrebbe essere digitato nel campo Val_futuro ma può anche essere omesso;

- la scadenza dei vari pagamenti, infatti nel campo Tipo si distingue tra pagamento all’inizio del periodo (allora si digita 1) e pagamento alla fine del periodo (allora si digita 0 o non si digita alcunché come nel nostro caso).

- VAL.FUT(tasso_int; periodi; pagam; val_attuale; tipo), che consente di calcolare il montante della rendita, noti:

- il tasso d’interesse effettivo annuo;

- il numero di periodi della rendita;

- la rata della rendita;

- il valore attuale che può anche essere omesso;

- la scadenza dei vari pagamenti, per cui vale il discorso fatto per la funzione VA.

Capitolo Terzo Problemi sulle rendite

In questo capitolo si è illustrata la soluzione di problemi inversi rispetto a quelli prospettati nel capitolo secondo. In quest’ultimo infatti, supposti noti l’importo delle rate, il numero delle stesse e il tasso d’interesse, si calcolava il valore attuale o il montante di una rendita.

Nel capitolo terzo, invece, uno dei dati dei problemi prospettati nel capitolo secondo rappresenta un’incognita.

Le funzioni di Excel utilizzate sono: RATA, NUM.RATE, TASSO.

rata.xls

La funzione RATA consente di risolvere il problema della ricerca della rata di una rendita dati:

- il tasso d’interesse effettivo di periodo della rendita;

- il numero di rate della rendita;

- il valore attuale e/o il montante della rendita (uno dei due può anche essere omesso);

- la scadenza dei vari pagamenti: all’inizio o alla fine di ciascun periodo.

numero rate.xls

La funzione NUM.RATE consente di risolvere il problema della ricerca del numero delle rate noti:

- il tasso d’interesse effettivo di periodo della rendita;

- l’importo di ciascuna rata;

- il valore attuale della rendita che può anche essere omesso se è dato il valore futuro ossia il montante della rendita all’istante finale;

- la scadenza dei vari pagamenti che può verificarsi all’inizio di ciascun periodo (allora si digita 1) o alla fine di ciascun periodo (allora si digita 0 o non si digita alcunché come nel nostro caso).

tasso.xls

La funzione TASSO consente di risolvere il problema della ricerca del tasso d’interesse di una rendita dati:

- il numero di periodi della rendita;

- l’importo di ciascuna rata;

- il valore attuale della rendita che può anche essere omesso se è dato il valore futuro ossia il montante della rendita all’istante finale;

Capitolo Quarto Il leasing

leasing.xls

Illustriamo il procedimento da seguire per costruire il piano di ammortamento di un contratto di leasing.

— Nelle celle C2, C3 e C4 inseriamo, rispettivamente, capitale, tasso e periodi del piano di ammortamento.

— Nella cella C6 calcoliamo il canone con la funzione RATA.

— Nella cella C7 calcoliamo il fattore di attualizzazione composto , digitando:

=1/(1+$C$3)

— Supponendo un numero di canoni pari a 40, nelle celle da A9 ad A48 scriviamo i numeri da 1 a 40.

— Nella cella B9 calcoliamo il valore assoluto della cella C5, digitando =ASS($C$5) e trasciniamo la selezione fino alla cella B48.

— Nella cella C9, dovendo essere l’importo delle quote capitale pari, rispettivamente, a , digitiamo:

=$B9*($C$6)^(41-$A9)

essendo 40 il numero di canoni, per ottenere la prima quota occorre sottrarre a 41 la quantità 1 rappresentante la cella A9; a questo punto trasciniamo la selezione fino alla cella C48.

— Nella cella D9, dovendo essere l’importo delle quote interesse pari, rispettivamente, a:

otteniamo la prima quota interesse digitando:

=$B9*(1-($C$6)^(41-$A9))

trasciniamo la selezione fino alla cella D48 per ottenere le restanti quote interesse.

Capitolo Quinto I prestiti indivisi: ammortamento e valutazione

ammortamento francese.xls

Per costruire un piano di ammortamento con rate costanti si può procedere così come è stato fatto nel testo, nel modo seguente:

— Nelle celle C2, C3 e C4 inseriamo, rispettivamente, capitale, tasso e periodi del piano di ammortamento.

— Nella cella C6 calcoliamo la rata del piano con la funzione RATA.

— Nelle celle da A11 in poi scriviamo i numeri da 0 all’ultimo dei periodi in cui si effettuano i pagamenti.

— Nella cella D12 calcoliamo il valore assoluto della cella C6 ottenuta, in quanto Excel, trattandosi di un pagamento, ci fornisce un valore negativo, digitiamo =ASS($C$6) e trasciniamo la selezione fino all’ultima delle celle interessate della colonna D.

— Nella cella E11 scriviamo l’importo del capitale.

— Nella cella C12 otteniamo la prima quota interesse con la formula =$E11*$C$3.

— Per differenza tra la cella D12 e la cella C12 otteniamo la prima quota capitale, scrivendo, nella cella B12:

=$D12-$C12

— Il debito residuo, ottenuto nella cella E12, è pari alla differenza tra la cella E11 e la cella B12:

=$E11-$B12

— Il debito estinto, ottenuto nella cella F12, è pari alla differenza tra la cella E11 e la cella E12:

=$E$11-$E12

I restanti valori si ottengono in maniera analoga.

ammortamento francese bis.xls

Il metodo per la costruzione del piano di ammortamento illustrato dal foglio elettronico è alternativo a quello illustrato dal foglio precedente.

— Nelle celle C2, C3 e C4 inseriamo, rispettivamente, capitale, tasso e periodi del piano di ammortamento.

— Nella cella C6 calcoliamo la rata del piano con la funzione RATA.

— Nella cella C7 calcoliamo il fattore di attualizzazione composto , digitando:

=1/(1+$C$3)

— Nelle celle da A11 in poi scriviamo i numeri da 0 all’ultimo dei periodi in cui si effettuano i pagamenti.

— Nella cella D12 calcoliamo il valore assoluto della cella C6, digitando =ASS($C$6) e trasciniamo la selezione fino e trasciniamo la selezione fino all’ultima delle celle interessate della colonna D.

— Nella cella E11 scriviamo l’importo del capitale.

— Nella cella B12, dovendo essere l’importo delle quote capitale pari, rispettivamente, a , ipotizzando un numero di periodi pari a n =100, digitiamo:

=$D12*$C$101^(101-$A12)

essendo 100 il numero di periodi, per ottenere la prima quota occorre sottrarre a 101 la quantità 1 rappresentante la cella A12; a questo punto trasciniamo la selezione fino all’ultima delle celle interessate della colonna B.

— Nella cella C12, dovendo essere l’importo delle quote interesse pari, rispettivamente, a:

sempre supponendo n = 100, otteniamo la prima quota interesse digitando:

=$D12*(1-$C$101^(101-$A12))

trasciniamo la selezione fino all’ultima delle celle interessate della colonna C per ottenere le restanti quote interesse.

— Il debito residuo, ottenuto nella cella E12, è pari alla differenza tra la cella E11 e la cella B12:

=$E11-$B12

trasciniamo la selezione fino alla cella E17.

— Il debito estinto, ottenuto nella cella F12, è pari alla differenza tra la cella E11 e la cella E12:

=$E$11-$E12

trasciniamo la selezione fino all’ultima delle celle interessate della colonna F.

ammortamento italiano.xls

Per costruire un piano di ammortamento con quote capitale costanti utilizziamo il procedimento seguente:

— Nelle celle C2, C3 e C4 inseriamo, rispettivamente, capitale, tasso e periodi del piano di ammortamento.

— Nelle celle da A11 in poi scriviamo i numeri da 0 all’ultimo dei periodi in cui si effettuano i pagamenti.

— Nella cella B12 calcoliamo la quota capitale, costante in ogni periodo, dividendo l’importo della cella C2 per il numero di periodi in cui si effettuano i pagamenti; supposto tale numero pari a 100, digitiamo:

=$C$2/5

e trasciniamo la selezione fino all’ultima delle celle interessate della colonna B, per ottenere tutte le quote capitale.

— Nella cella C12 otteniamo la prima quota interesse con la formula =$E11*$C$3.

— La rata si ottiene sommando le corrispondenti celle relative a quote capitale e quote interesse.

— Il debito residuo, relativamente al primo anno, è pari alla differenza tra la cella E11 e la cella B12:

=$E11-$B12

i restanti valori di debito residuo si ottengono in maniera analoga.

— Il debito estinto, relativamente al primo anno, è pari alla differenza tra la cella E11 e la cella E12:

=$E$11-$E12

i restanti valori di debito estinto si ottengono in maniera analoga.

Capitolo Sesto Prestiti divisi in titoli: le obbligazioni e loro valutazione

obbligazioni.xls

Excel consente di costruire il piano di ammortamento di un prestito obbligazionario qualsiasi.

Procediamo nel modo seguente:

— Nelle celle C2, C3 e C4 inseriamo, rispettivamente, capitale, tasso e periodi del piano di ammortamento.

— Nella cella C6 calcoliamo la rata del piano con la funzione RATA.

— Nella cella C7 calcoliamo il fattore di attualizzazione composto , digitando:

=1/(1+$C$3)

— Nelle celle da A11 in poi scriviamo i numeri da 1 all’ultimo dei periodi in cui si effettuano i pagamenti.

— Nella cella B11 calcoliamo l’importo della prima quota di ammortamento teorica. Supponendo un numero di periodi pari a n = 100, digitiamo:

=ASS($C$6)*$C$^(101-$A11)

occorre calcolare, infatti, il valore assoluto dell’importo della rata (cella C6), in quanto Excel, trattandosi di un pagamento, ci fornisce un valore negativo. Inoltre, dovendo essere l’importo delle quote capitale pari, rispettivamente, a , moltiplichiamo il valore assoluto ottenuto per:

$C$7^(101-$A11)

essendo 100 il numero di periodi, per ottenere la prima quota occorre sottrarre a 101 la quantità 1 rappresentante la cella A11; a questo punto trasciniamo la selezione fino all’ultima delle celle interessate della colonna B.

— Nella cella C11 otteniamo il numero di obbligazioni rimborsate alla prima estrazione dividendo ciascuna quota di ammortamento per il valore nominale di ciascuna obbligazione. Il valore così ottenuto deve essere arrotondato, per difetto, per ottenere un numero intero. Supposto un valore nominale pari a 10, occorre, quindi, digitare:

=ARROTONDA.DIFETTO(B11/10;1)

a questo punto trasciniamo la selezione fino all’ultima delle celle interessate della colonna C.

— Nella cella D11 otteniamo la prima quota di ammortamento effettiva il numero di obbligazioni rimborsate alla prima estrazione (cella C11) per il valore nominale (10) di ciascuna obbligazione. Digitiamo:

=C11*10

trasciniamo la selezione fino all’ultima delle celle interessate della colonna D.

— Nella cella E11 otteniamo la prima quota effettiva di interesse, digitando:

=ASS($C$6)*(1-$C$7^(101-$A11))

in quanto, al solito, si deve calcolare, innanzi tutto, il valore assoluto della rata, poi, si deve tener conto del fatto che l’importo delle quote interesse pari, rispettivamente, a:

trasciniamo la selezione fino all’ultima delle celle interessate della colonna E.

— Nella cella F11 otteniamo la prima rata effettiva. Digitiamo:

=D11+E11

trasciniamo la selezione fino all’ultima delle celle interessate della colonna F.

duration.xls

Per la determinazione della duration di un titolo, facciamo uso di un foglio elettronico di Excel, supponendo flussi di cassa semestrali.

— Nelle celle da A2 in poi scriviamo i valori di k = 0,5; 1; 1,5; ....

— Nella cella B2 scriviamo il valore della cedola costante per tutte le scadenze, trasciniamo fino all’ultima delle celle interessate della colonna B; nella cella successiva, sempre nella colonna B, scriviamo il valore del flusso all’ultima scadenza, ossia la somma tra valore nominale e importo di ciascuna cedola.

— Nella cella C2 calcoliamo il valore attuale di un flusso unitario relativo alla prima scadenza; supposto un tasso dell’8%, digitiamo:

=(1+0,08/2)^(-2*A2)

trasciniamo la selezione fino all’ultima delle celle interessate della colonna C.

— Nella cella D2 calcoliamo il valore attuale del flusso F₁, relativo, cioè, al primo periodo; moltiplichiamo il valore delle celle B2 e C2; digitiamo:

=B2*C2

trasciniamo la selezione fino all’ultima delle celle interessate della colonna D.

— Nella cella E2 moltiplichiamo il valore della cella A2 per il valore della cella D2, digitiamo:

=A2*D2

— Nelle successive celle della colonna D e della colonna E otteniamo le somme delle colonne D ed E, rispettivamente; supponendo che l’ultima cedola sia corrisposta dopo 10 periodi digitiamo:

=SOMMA(D2:D10) =SOMMA(E2:E10)

— Dal rapporto tra le due celle si ottiene il valore della duration.

Capitolo Settimo Valutazione delle operazioni finanziarie certe

TIR.xls

Per calcolare il TIR di un’operazione finanziaria ricorrendo ad Excel, il procedimento è semplice.

— Supponendo 10 flussi di cassa associati a tale operazione, nelle celle dalla A1 alla A10 digitiamo i valori relativi ai 10 flussi di cassa, avendo cura di far precedere ciascun pagamento dal segno meno.

— In una cella qualsiasi del foglio digitiamo:

=TIR.COST(A1:A10)

Capitolo Ottavo Valutazione delle operazioni finanziarie aleatorie

coefficienti alfa e beta.xls

Dovendo calcolare i coefficienti alfa e beta avendo a disposizione le quotazioni di un titolo e le quotazioni di un indice di borsa in riferimento a un certo numero di sedute il procedimento è semplice.

— Supposte 10 sedute borsistiche inseriamo nelle celle da A2 ad A11 le quotazioni del titolo e nelle celle da B2 a B11 quelle dell’indice.

— Calcoliamo, nella cella C3, la variazione percentuale del rendimento del titolo tra la prima e la seconda seduta; scriviamo:

=(A3-A2)/A2*100

trasciniamo la selezione fino alla cella C11 per calcolare le successive variazioni percentuali.

— Calcoliamo, nella cella D3, la variazione percentuale dell’indice tra la prima e la seconda seduta; scriviamo:

=(B3-B2)/B2*100

trasciniamo la selezione fino alla cella D11 per calcolare le successive variazioni percentuali.

— Nella cella C14 calcoliamo il valore di alfa con la funzione di Excel INTERCETTA; digitiamo:

=INTERCETTA(C3:C11;D3:D11)

— Nella cella D14 calcoliamo il valore di beta con la funzione di Excel PENDENZA; digitiamo:

=PENDENZA(C3:C11;D3:D11)

Capitolo Nono Strumenti finanziari derivati

margine di garanzia.xls

Il calcolo del margine di garanzia da versare a una clearing house e le movimentazioni a esso connesse sono semplici da eseguirsi con Excel come illustrato nel foglio.

Capitolo Decimo Introduzione al calcolo delle probabilità e alle variabili casuali

retta di regressione.xls

Il foglio elettronico illustra le modalità di determinazione dei coefficienti della retta di regressione. In particolare, fa uso della funzione:

- INTERCETTA per determinare ;

- PENDENZA per determinare .

Inseriamo i dati nelle celle dalla A2 alla A8 per la variabile X e dalla B2 alla B8 per la variabile Y.

correlazione.xls

Il foglio elettronico illustra due funzioni statistiche di Excel che consentono il calcolo del coefficiente di correlazione: CORRELAZIONE e PEARSON.

I dati sulle variabili sono inseriti nelle celle dalla A2 alla A8 per la variabile X e dalla B2 alla B8 per la variabile Y.