Inferenza statistica

Volendo costruire un modello che spieghi il Peso (espresso in kg) in funzione dell’Altezza (espressa in cm) si è osservato un campione di n = 10 studenti della facoltà di Economia; i dati ottenuti sono riportati nella tabella seguente:

 

Sia la variabile Altezza la variabile esplicativa X e la variabile Peso la variabile dipendente Y. Si supponga che le variabili y_i, i = 1, 2, ..., n si distribuiscano normalmente e soddisfino l’ipotesi di indipendenza, omoschedasticità e che le medie siano sulla retta di regressione.

1. Stimare, con il metodo dei minimi quadrati, i coefficienti di regressione b₀ e b₁ del modello;
2. costruire un intervallo di confidenza, ad un livello di significatività a = 0,05, per l’intercetta b₀;
3. costruire un intervallo di confidenza, ad un livello di significatività a = 0,05, per il coefficiente angolare b₁;
4. sulla base delle osservazioni campionarie verificare l’ipotesi nulla di assenza di un legame lineare tra Altezza e Peso, ad un livello di significatività a = 0,01.

Risoluzione

1. Le stime dei minimi quadrati dei parametri di un modello di regressione si ottengono applicando le formule:





I calcoli necessari alla loro determinazione sono contenuti nel seguente schema:

	xi	yi			xiyi
	165	71	27.225	5.041	11.715
	172	75	29.584	5.625	12.900
	159	81	25.281	6.561	12.879
	168	76	28.224	5.776	12.768
	166	88	27.556	7.744	14.608
	158	72	24.964	5.184	11.376
	157	98	24.649	9.604	15.386
	177	89	31.329	7.921	15.753
	164	83	26.896	6.889	13.612
	172	81	29.584	6.561	13.932
Totale	1.658	814	275.292	66.906	134.929

 

Inoltre:





Pertanto:





L’equazione della retta di regressione è quindi:



Per la determinazione degli intervalli di confidenza i calcoli sono contenuti nello schema seguente:

 

	xi	yi
	165	71	81,46512	109,5187
	172	75	80,89535	34,75516
	159	81	81,95349	0,909136
	168	76	81,22093	27,25812
	166	88	81,38372	43,77515
	158	72	82,03488	100,6988
	157	98	82,11628	252,2927
	177	89	80,48838	72,44774
	164	83	81,54651	2,11263
	172	81	80,89535	0,010951
Totale	1.658	814	814	643,779

L’errore standard della regressione, dato dalla radice quadrata della varianza residua, è:



2. L’intervallo di confidenza per b₀ è:



L’errore standard della stima è:



dove si evince dal seguente schema:

	xi
	165	0,64
	172	38,44
	159	46,24
	168	4,84
	166	0,04
	158	60,84
	157	77,44
	177	125,44
	164	3,24
	172	38,44
Totale	1.658	395,6

Per cui:



Per a = 0,05 e n – 2 = 8 gradi di libertà è:



Pertanto, l’intervallo di confidenza per b₀ è:



ossia:



con una probabilità del 95%.

3. L’intervallo di confidenza per b₁ è:



L’errore standard della stima è:



ossia:



Pertanto, l’intervallo di confidenza per è:



ossia:



con una probabilità del 95%.

4. L’ipotesi da verificare è:

contro l’ipotesi alternativa:

A tal fine si può utilizzare la statistica – test:

che, se l’ipotesi nulla è vera, si distribuisce, al variare del campione come una variabile casuale t di Student con n – 2 gradi di libertà.

Il valore empirico della statistica – test è:

Per n – 2 = 8 gradi di libertà e per a/2 = 0,005 è:

Essendo si rifiuta l’ipotesi di assenza di dipendenza lineare della variabile Peso (Y) dalla variabile Altezza (X), ad un livello di significatività a = 0,01.

 

Il materiale qui presentato è tratto dal volume Esercizi svolti per la prova di statistica, Edizioni Simone 2002.

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