La funzione Cobb-Douglas

La funzione di Cobb-Douglas è impiegata per descrivere tipi di produzioni che non richiedono l’impiego dei fattori produttivi in proporzioni fisse. Supponendo che l’impresa impieghi come input il lavoro (L) e il capitale (K) la funzione di produzione è rappresentata dalla seguente espressione:

Y = AK^a L^b

dove A è una costante ed indica il grado di produttività della tecnologia impiegata, a e b rappresentano invece dei coefficienti che consentono di analizzare alcune caratteristiche della tecnologia impiegata, quali i rendimenti di scala e l’elasticità di sostituzione. Generalmente si assume che a + b = 1. Per comprendere le caratteristiche della funzione di produzione Cobb-Douglas, supponiamo che:

A = 1; K = 4; L = 2 e che  a = 1/2 e b =1/2.

Allora si avrà:

Y = 1 × 4^1/2 × 9^1/2 = 6

in pratica, se si impiegano 9 unità di lavoro e 4 di capitale, la tecnologia consente di ottenere 6 unità di output. Si noti che lo stesso livello di output può essere ottenuto impiegando anche 9 unità di capitale e 4 di lavoro. Se moltiplichiamo ciascun fattore per un certo numero, poniamo 2, l’output prodotto raddoppia passando a 12. Con a + b =1, dunque, si hanno rendimenti di scala costanti. Se a + b >1, la tecnologia presenta rendimenti di scala crescenti: moltiplicando tutti i fattori per una costante l , l’output aumenta più che proporzionalmente. L’opposto accade nel caso in cui a + b < 1.

Determinare da che tipo di rendimenti di scala sono caratterizzate le seguenti funzioni:

a) F(K, L) = K² L

b) F(K, L) = K^1/2 L^1/2

c) F(K, L) = K^-1/2 L ^-1/2

1. Poiché i rendimenti di scala si riferiscono alla relazione fra la produzione e la variazione di tutti i fattori produttivi si avrà che:


se l F(K, L) = F(l K, l L) la tecnologia è caratterizzata da rendimenti di scala costanti;

se F(l K, l L)> l F(K, L) si avranno rendimenti di scala crescenti;

se F(l K, l L)< l F(K, L) si avranno rendimenti di scala decrescenti.

Nel caso della funzione di produzione  F(K, L) = K²L sarà:

F(l K, l L) = (l K)² (l L) = l ³K²L = l ³ F(K, L)

dunque, la funzione di produzione esaminata presenta rendimenti di scala crescenti.

 

2. Seguendo lo stesso procedimento visto sub punto a) avremo:

F(l K, l L) = (l K)^1/2 (l L)^1/2 = l K^1/2 L^1/2; F(l K, l L) =

= l F(K, L)

la funzione in esame presenta dunque rendimenti di scala costanti.

 

3. Seguendo il procedimento visto nei punti precedenti avremo:

       F(l K, l L) = (l K)^-1/2 (l L)^-1/2 = l ^-1 K^-1/2 L^-1/2;

       e quindi F(l K, l L) < l F(K, L), la funzione esaminata è caratterizzata da rendimenti decrescenti di scala.

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