Massimi e minimi di funzioni economiche

Qui di seguito proponiamo alcuni esercizi svolti relativi alla massimizzazione e alla minimizzazione di alcune funzioni economiche.  

Si massimizzino le seguenti funzioni economiche:

a) RT = 38q – q²

b) p = –q² + 10q – 23

c) p =

Si segue la seguente procedura:

1) si calcola la derivata della funzione;

2) la si uguaglia a zero, vale a dire che si impone la condizione del primo ordine per ottenere il punto di massimo o di minimo relativo;

3) si calcola la derivata seconda (operando sulla derivata prima già ottenuta);

4) se il segno della derivata seconda è negativo, il punto rappresenta un minimo relativo; se è positivo, il punto rappresenta un massimo relativo. Questa verifica è anche detta condizione del secondo ordine.

a) RT = 38q – q²

 

38 – 2q = 0 (condizione del primo ordine)

38 = 2q

(condizione del secondo ordine)

Pertanto q = 19 rappresenta un massimo relativo.

b) p = –q² + 10q – 23

–2q + 10 = 0 (condizione del primo ordine)

 

10 = 2q; q = 5

(condizione del secondo ordine)

Pertanto q = 5 rappresenta un massimo relativo.

   
         c) p =

–q² + 16q – 39= 0 (condizione del primo ordine)

q² – 16q + 39 = 0

D = b² – 4ac = 256 – 4 · 39 = 256 – 156 = 100

 

Per q = 13 la derivata seconda sarà (– 2)13 + 16 = –26 + 16 = –10 < 0.

Quindi il valore q = 13 rappresenta un massimo relativo.

Per q = 3 la derivata seconda sarà –2(3) + 16 = –6 + 16 = 10 > 0.

Quindi, il valore q = 3 rappresenta un minimo relativo.

Si minimizzino le seguenti funzioni economiche:

a) AC = 100 – 14q + q²

b) CT =

dove

AC (average cost) è il costo medio e CT è il costo totale.

a)

–14 + 2q = 0 (condizione del primo ordine)

2q = 14; q = 7

(condizione del secondo ordine)

Pertanto, q = 7 rappresenta un punto di minimo relativo.

b)

q² – 9q + 14 = 0 (condizione del primo ordine)

D = 81 – 56 = 25

 

 

(condizione del secondo ordine)

Per q = 7 la derivata seconda assume il valore 2 · 7 – 9 = 14 – 9 = 5 > 0; quindi q = 7 rappresenta un punto di minimo relativo.

Per q = 2 la derivata seconda assume il valore 2 · 2 – 9 = 4 – 9 = – 5 < 0.

Quindi q = 2 rappresenta un punto di massimo relativo. Pertanto q = 2 viene scartato in quanto massimizza il costo totale.

Il materiale qui presentato è tratto dal volume Esercizi svolti per la prova scritta di Microeconomia, Edizioni Simone 2002.