Sappiamo che la scelta ottima è quella in corrispondenza della quale il saggio marginale di sostituzione è uguale al rapporto fra i prezzi dato il vincolo di bilancio.

Calcoliamo quindi il saggio marginale di sostituzione che è pari al rapporto fra le utilità marginali dei due beni, ma prima trasformiamo la funzione di utilità del consumatore nel modo seguente:

Calcoliamo adesso le utilità marginali dei due beni che non sono altro che la derivata prima della funzione di utilità rispetto al bene 1 e al bene 2

Scriviamo adesso il vincolo di uguaglianza fra il SMS e il rapporto fra i prezzi:

ossia:

Scriviamo adesso il vincolo di bilancio:

Impostiamo e risolviamo il sistema formato dai due vincoli:

®

Sostituendo il valore di C₂ nella seconda equazione del sistema otterremo:

La curva di Engel o curva reddito-consumo descrive come cambiano le combinazioni di acquisto dei beni al variare del reddito dell'individuo, date le sue preferenze e dati i prezzi dei beni:

Imponiamo la condizione di tangenza fra la curva d'indifferenza e la retta di bilancio:

L'ultima espressione rappresenta la funzione di domanda del bene C₁ rispetto al reddito