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Esercizio di statistica (moda, mediana, media aritmetica, scarto quadratico medio, media campionaria, varianza campionaria)


1)

  1. La moda è un indice di posizione ed è la modalità del carattere cui corrisponde la massima frequenza.

    2. Per caratteri discreti la moda si identifica scorrendo lungo la colonna delle frequenze della distribuzione.

    Nel quesito le frequenze sono rappresentate dal numero di persone intervistate, per cui la moda è la modalità "10" poiché ad essa corrisponde la frequenza massima (22).

     

  2. La mediana è quel valore della variabile che bipartisce la distribuzione ordinata delle modalità di un carattere. Per cui, al primo gruppo apparterranno le osservazioni inferiori o uguali alla mediana, al secondo gruppo le osservazioni superiori o uguali alla stessa.

    3. Siccome il numero n di frequenze è pari la mediana è data dalla semisomma delle intensità individuate dai due posti centrali , e, applicando ai dati, si ha:

    La mediana è compresa, quindi, tra il 50° e il 51° posto.

    Per determinare l’indice richiesto calcoliamo le frequenze cumulate.

    Giorni

    Persone

    Frequenze cumulate

    7

    8

    9

    10

    11

    12

    13

    14

    8

    12

    15

    22

    18

    10

    9

    6

    8

    20

    35

    57

    75

    85

    94

    100

    Totale

    100

    -

    Dalla tabella si evince che il 50° e il 51° posto si riferiscono entrambi alla modalità "10", per cui la mediana è Me = 10.

  3. La media aritmetica è l’indice statistico più utilizzato per la facilità di calcolo e per le proprietà di cui gode. Essa esprime la posizione globale di una distribuzione di frequenza. Date le modalità x1, x2, ..., xk che si presentano con frequenze assolute n1, n2, ..., nk, la media aritmetica è definita da:

    4. Applicando la formula ai dati si ha:

  4. Lo scostamento quadratico medio o deviazione standard è un indice di variabilità molto utilizzato. Indicato con
è la radice quadrata della varianza, a sua volta definita come la media aritmetica del quadrato degli scarti dalla media aritmetica; per una distribuzione di frequenza la sua espressione analitica è la seguente:

Esso misura il grado di dispersione di una variabile attorno alla sua media aritmetica ed è espresso nella stessa unità di misura del carattere.

Applicando la formula ai dati del quesito si ha:

 

2) L’intervallo di confidenza è uno strumento statistico utilizzato per attribuire un giudizio di validità circa la stima dei parametri. Si tratta di un intervallo di valori determinato sulla base di un campione che si ritiene contenere il vero parametro con una prefissata "fiducia".

Volendo stimare il consumo medio di una popolazione con varianza da cui sia stato estratto un campione di numerosità n con media e scarto quadratico medio s, l’intervallo di confidenza è il seguente:

Sapendo che = 0,32, s = 0,002, e che n = 120, si ha che l’intervallo è il seguente:

ossia:

Pertanto, con fiducia pari al 95% si ritiene che il consumo medio giornaliero di latte della popolazione considerata cada nell’intervallo appena calcolato.

 

3) Uno stimatore T(X) si dice corretto o non distorto quando il suo valore medio coincide con il valore del parametro q da stimare per qualsiasi suo valore:

= q

Se, invece, tale uguaglianza non si verifica, l’espressione:

d(q ) = q -

indica la tendenziosità o distorsione dello stimatore.

Lo stimatore media campionaria della media m di una popolazione è corretto. Infatti:

Lo stimatore varianza campionaria della varianza della popolazione è uno stimatore distorto. Infatti, poiché la sua espressione analitica è:

il suo valore medio è:

per cui la condizione di non distorsione non è soddisfatta.

Quale stimatore corretto della varianza è invece utilizzato:

il cui valore medio è .

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