La convessitā delle preferenze

L'andamento del saggio marginale di sostituzione consente di descrivere la forma delle curve d'indifferenza. Nel caso di curve d'indifferenza convesse, il SMS, cioè l'inclinazione della curva d'indifferenza, diminuisce (in valore assoluto) all'aumentare del bene x. Il SMS ha segno negativo, poiché se si ottiene una quantità maggiore del bene x si dovrà avere una quantità minore del bene y per mantenere lo stesso livello di utilità. Tuttavia per convenzione si considera sempre il suo valore assoluto.

Calcoliamo allora il valore del saggio marginale di sostituzione della funzione



dove e rappresentano rispettivamente l'utilità marginale del bene x e l'utilità marginale del bene y.





Il saggio marginale di sostituzione è allora pari a:



come si può agevolmente notare all'aumentare del consumo del bene x il saggio marginale di sostituzione decresce (in valore assoluto).

Calcoliamo ora la scelta ottima del consumatore. Risolviamo allora il seguente sistema:



inserendo i dati a nostra disposizione:



Ricavando y dalla prima equazione e sostituendo nella seconda, il sistema diventa



Dalla seconda equazione otteniamo la quantità ottima di x, che rappresenta però anche l'equazione della curva di domanda per x, ovvero



e sostituendo per x nella prima equazione si ottiene la quantità ottima di y che rappresenta anche l'equazione della curva di domanda per y



Calcoliamo ora l'elasticità della domanda del bene x rispetto al proprio prezzo. La formula dell'elasticità è:



il primo fattore del secondo membro dell'equazione non è altro che la derivata della funzione di domanda rispetto al prezzo che nel nostro caso è:



e quindi l'elasticità è pari a:



L'elasticità della domanda del bene x rispetto al prezzo del bene y, e quindi l'elasticità incrociata è:



nel nostro caso osservando la funzione di domanda di x risulta immediatamente evidente come la derivata prima della domanda di x rispetto al prezzo y sia nulla: infatti l'equazione della domanda di x non contiene affatto il prezzo di y. I due beni sono dunque indipendenti.

Vediamo adesso in che modo si calcola l'elasticità della domanda del bene x rispetto al reddito, la formula è:



e nel nostro caso

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