La retta di regressione

Le due rette di regressione date sono esprimibili, rispettivamente, nel modo seguente:

e

Il coefficiente di correlazione lineare di Bravais – Pearson r si ottiene usando la seguente espressione:



che, applicata ai dati del quesito, è pari a:



Per determinare la media aritmetica di ciascuna delle due variabili, si deve considerare un’importante proprietà delle rette di regressione in base alla quale esse passano per il punto medio di coordinate .

Pertanto, imponendo tale condizione ai dati si ottiene il sistema di due equazioni in due incognite:



che può essere risolto facilmente utilizzando il metodo di sostituzione.

Infatti, sostituendo la prima equazione nella seconda si ha:



da cui, attraverso semplici passaggi:



pertanto, ottenuto il valore della nella seconda equazione, lo si sostituisce nella prima per ottenere il corrispondente valore della :



Il rapporto di proporzionalità tra Var(x) e Var(y) si ottiene considerando che:



in cui e rappresentano lo scarto quadratico medio della variabile x e della variabile y, rispettivamente.

Dalla relazione su scritta si ha:



ed essendo e , il rapporto di proporzionalità diviene:



ossia:



La variabile Z = 3x – 0,5 y +1 è una combinazione lineare di variabili correlate tra loro.

La media aritmetica di Z è:



dove a e b sono i coefficienti di x e y nell’espressione di Z. Pertanto si ha:



La varianza di Z si ottiene applicando la formula della varianza di una variabile doppia con variabili correlate tra loro:



in cui Cov(x, y) rappresenta la covarianza tra x e y.

Per determinare la varianza di Z occorre, dunque, calcolare:

• Var(x) che, nota la media quadratica di x (Q), si ottiene dalla seguente espressione:



ed è pari a:



• Var(y) che, dal rapporto di proporzionalità ottenuto prima, è pari a:



ossia:



• Cov(x, y) che si ottiene dall’espressione del coefficiente di correlazione lineare:



da cui:



ossia:



Pertanto, la varianza di Z è:



Home - Indietro