La funzione di profitto dell’imprenditore è la seguente:

Il testo dell’esercizio fornisce la funzione inversa di domanda di mercato da cui si ricava la funzione del prezzo , e la funzione dei costi di produzione dei due impianti; per cui, sostituendo nella funzione del profitto i dati a nostra disposizione si ha:

che, dopo semplici passaggi, diviene

Il profitto del monopolista è massimo quando i ricavi marginali sono uguali ai costi marginali; analiticamente, la condizione di primo ordine per un massimo impone che le derivate parziali prime rispetto a ciascuna variabile siano uguali a zero:

da cui, il punto .

Affinché si tratti di un massimo, la condizione di secondo ordine impone che le derivate parziali seconde rispetto a ciascuna variabile siano minori di zero; in simboli:

In corrispondenza di tale punto, il profitto sarà pari a:

mentre, dalla funzione di domanda, il prezzo sarà pari a:

In condizioni normali, dunque, il monopolista deciderebbe di produrre le quantità date fissando il prezzo a questo livello e ottenendo un profitto pari a quello ottenuto. Il testo dell’esercizio impone, tuttavia, una condizione: che il suo comportamento sia vincolato da un’autorità di regolamentazione che si proponga di massimizzare il benessere sociale.

In economia, una simile condizione si traduce imponendo al monopolista di comportarsi come un imprenditore che opera in regime di concorrenza perfetta; in altri termini, l’imprenditore dovrà fissare un prezzo pari al costo marginale, con ovvie ripercussioni sul suo profitto.

Pertanto, date le funzioni di costo dei due impianti, i costi marginali sono dati, rispettivamente, da:

Imponendo l’uguaglianza tra ciascun costo marginale con il prezzo desumibile dalla funzione di domanda, si ottiene il seguente sistema di due equazioni nelle due incognite q₁ e q₂:

che, dopo semplici passaggi, conduce alla soluzione:

Si noti che tali quantità sono maggiori di quelle ottenute in assenza di vincoli.

Pertanto, il prezzo p sarà pari a:

Ovviamente, il prezzo è minore di quello ottenuto in assenza di regolamentazione del monopolio.

Il profitto dell’imprenditore, in corrispondenza delle quantità di prodotto appena ottenute, è:

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