Dal testo dell’esercizio si desume che x₁ rappresenta il fattore produttivo

capitale che, nel breve periodo, si assume fisso.

Siccome, per ipotesi, x₁ = 6, la funzione di produzione nel breve periodo può

essere scritta in maniera equivalente:

da cui, si può ottenere, per relazione inversa, la quantità di fattore lavoro impiegata nel breve periodo, in funzione del prodotto y:

Siano p₁ e p₂, rispettivamente, i prezzi dei fattori produttivi x₁ e x₂; la funzione

dei costi totali (la somma dei costi fissi e dei costi variabili) di breve periodo è:

I costi medi di breve periodo, ottenuti dividendo i costi totali per la quantità prodotta, sono:

I costi marginali di breve periodo, ottenuti derivando la funzione dei costi totali, sono:

Nel lungo periodo lavoro e capitale sono entrambi fattori produttivi variabili. L’imprenditore deve scegliere quella combinazione di fattori che minimizzi i costi di produzione:

con un vincolo rappresentato da un dato livello di produzione .

Graficamente, la funzione obiettivo è una retta rappresentante le combinazioni di produzione che comportano un certo costo di produzione (isocosto); il vincolo è rappresentato, invece, da un isoquanto messo in relazione con il dato livello di produzione.

Il problema di ottimizzazione vincolata è risolto nel punto di tangenza tra isoquanto e isocosto che verifica, comunque la solita uguaglianza tra saggio marginale di sostituzione tecnica e rapporto tra i prezzi dei fattori.

Questo punto rappresenta l’ottimo del produttore, ossia la combinazione che rende minimo il costo, data la quantità di output prefissata; in corrispondenza di tale punto si realizza la nota uguaglianza:

tra saggio marginale di sostituzione tecnica e rapporto tra i prezzi.

Poiché:

da cui, attraverso semplici passaggi:

La domanda del fattore x₂ è quindi:

La domanda del fattore x₁ si ottiene in maniera analoga dalla condizione di ottimo:

La domanda del fattore x₁ è quindi:

Pertanto, i costi totali di lungo periodo sono:

I costi medi di lungo periodo sono:

Infine, i costi marginali di lungo periodo sono: